第一部分 · 底层算术

得分效率：每回合期望分 = 命中率 × 分值

上一课我们把胜负压缩成了一个量：每回合期望分之差。回合数两队均分、还被 24 秒框死，谁也偷不走；唯一能拉开的，是每个回合榨出多少分。可这又把问题往前逼了一步——一个回合的价值，到底由什么决定？答案出奇地简单，简单到能写成一行乘法：一次出手的期望分 = 命中率 × 分值。别小看这行乘法。它会逼出一个反直觉的结论：决定效率的，首先不是你投得有多准，而是你选了哪一种投篮。一个 35% 的三分，竟然完胜一个 40% 的长两分。

一、一行乘法：期望分 = 命中率 × 分值

先把「期望」这个词说清楚，它没有听上去那么玄。你站在某个位置出手，结果只有两种：进，或不进。假设这个位置你长期投，命中率是 p；投进得的分是分值 v（两分线内 v=2，三分线外 v=3）。那么这一次出手「平均」能换来多少分？

一次出手的期望分 = 命中率 × 分值 = p × v

「期望」就是「长期平均」的意思。你某一次三分要么得 3 分要么得 0 分，不会真的得到「1.08 分」；但如果你在这个位置投 100 次、命中 36 次，总共得 36 × 3 = 108 分，平摊到每一次出手就是 1.08 分。这 1.08，就是这种出手的「单价」。上一课我们说胜负是「每回合期望分之差」——现在你看到了，那个「每回合期望分」，归根到底就是把一次次出手的 p × v 累加、再平均出来的东西。

这台乘法之所以重要，是因为它一眼就拆穿了一个新手最容易犯的错：只盯着命中率高不高，却忘了乘上分值。命中率高的出手，期望分不一定高；分值高的出手，哪怕命中率低，期望分也可能更高。两个旋钮要一起拧，缺一个都会被骗。

二、盈亏平衡线：三分只要超过两分命中率的 2/3

把这台乘法用在篮球最经典的抉择上：同一次进攻，我该投一个两分，还是退后半步投三分？用期望分一比就清楚了。

设你两分的命中率是 p₂，三分的命中率是 p₃。两者的期望分分别是：

两分期望分 = p₂ × 2　　三分期望分 = p₃ × 3

什么时候三分更划算？让三分的期望分追上两分的期望分，即 p₃ × 3 = p₂ × 2，解出来：

盈亏平衡：p₃ = (2 / 3) × p₂

这条线漂亮得惊人。它说：一个三分，只要命中率超过你两分命中率的三分之二，它的期望分就更高。三分自带 3 / 2 = 1.5 倍的分值杠杆，所以你不需要投得和两分一样准，只要投到两分准度的 2/3 就打平，超过就赚。举两个例子，把上一课结尾那个承诺兑现：

盯住第二组。一个命中率更高的出手（40% 的长两分），期望分反而更低（0.80 ＜ 1.05）；一个看起来「准度差一截」的 35% 三分，因为乘上了 3，单价高出整整 0.25 分/次。这正是这门运动过去二十年最大的一次集体醒悟：那个卡在罚球线附近、两分线内的「长两分」，是全场效率最低的出手之一——它离篮筐已经够远（命中率掉下来了），却又没踏过三分线（拿不到那 1.5 倍杠杆），两头不靠。难怪现代球队拼命把这种球「挤掉」，要么再走两步上篮，要么干脆退到三分线外。下一课我们会看到，这种「长两分最差」的结论，恰好被画在了球场的几何上。

三、于是「投篮选择」比「投篮能力」更早决定效率

现在请把上面那张表再读一遍，但这次换个角度想：表里那四种出手，可能出自同一个球员。同一个人，选择投 35% 的三分还是 40% 的长两分，是一个决策，不是一个天赋。而这个决策，单独就造成了 1.05 对 0.80、每次出手 0.25 分的鸿沟——比绝大多数球员之间「投篮能力」的差距还要大。

这就逼出了本课最该带走的一句话：

这也解释了为什么职业球队会请人专门画「投篮热图」、为什么教练宁可放空一个中距离高手也不愿放空底角三分手：他们不是在管「投得准不准」，而是在管「把球权分配到哪些单价更高的出手上」。这是一道资源分配题——你有大约 100 个回合（上一课），每个回合是一次性的预算，理性的做法当然是尽量把它花在期望分最高的出手上。看球的人盯着球进没进，懂球的人盯着「这是不是一次好出手」——哪怕这一次没进，只要它的 p × v 够高，它就是对的。

四、罚球：被低估的、隐藏的高效出手

现在把同一台乘法对准一个最容易被忽视的得分方式：罚球 (free throw)。罚球每罚一次只值 1 分，听起来很「小」。可它有两个被低估的特点：命中率极高，而且通常一次给两罚。

全联盟罚球命中率长期约 77%。一次犯规送你站上罚球线投两罚，它的期望分是：

两罚的期望分 = 2 × 罚球命中率 ≈ 2 × 0.77 = 1.54 分

1.54 分！回头看第二节那张表——它高过任何一种投篮出手：高过 1.08 分的好三分，更别提 0.80 分的长两分。而且这是一次几乎没有防守干扰的出手：没人能盖你的帽、没人能逼你仓促出手，你站在线上从容地投。从「命中率 × 分值」的眼光看，把对方的犯规换成两罚，是全场单价最高的「出手」之一。

这一下就解释了一件常被误读的事：为什么「造犯规」这么值钱。一个会突破、会用身体的球员，他真正的价值常常不在那些华丽的上篮，而在于他能把一次普通的进攻，升级成一次 1.5 分的罚球——顺便还让对方球员背上犯规（团队犯规累积到一定次数后，对手往后每次犯规都得送你罚球）。这条线我们先埋在这里：到了第 07 课讲单打时，你会看到「造犯规」如何成为顶级单打手把低效单打救回高效的核心手段。眼下你只需记住：罚球不是「小分」，它是藏在哨声里的高效得分。

五、最差的结果不是投不中，是失误

到这里你可能以为，一个回合最坏的下场是「投了个低命中率的烂球」。不对。再烂的出手，期望分也是正的——哪怕一个 25% 命中的勉强三分，期望分也有 0.25 × 3 = 0.75 分，不算高，但终究是正的。真正最差的结果，是这个回合连一次出手都没换来：

这件事和姊妹课《足球的逻辑》第 07 课「攻防转换」讲的是同一个道理：球权易手的那一瞬间，防守方阵型最散、空间最失衡，是全场最危险的几秒钟。足球管它叫「转换」，篮球管它叫「快攻」，但内核完全一样——失去球权的代价，远不止「这次没得分」，还包括把对手送进了那个空间最失衡、得分最容易的窗口。这也是为什么职业球队对失误近乎零容忍：它是唯一一种让你的期望分直接归零、还反手喂给对手一记高单价出手的结局。一个略低命中率的出手或许不优雅，但它至少逼对手去抢一个篮板、争一次球权；而一次失误，是把回合白白拱手让人。

六、亲手拨一拨：两分 vs 三分的盈亏平衡

下面这个部件把第二节那条盈亏平衡线交到你手里。你有两个滑块：两分命中率 p₂ 和三分命中率 p₃。部件实时算出两种出手各自的期望分（p₂×2 与 p₃×3），并标出关键的平衡线——也就是「要打平你当前这个两分，三分命中率最低需要多少」（= 2/3 × p₂）。当你的三分命中率高过这条线，三分就是更值的选择，部件会把它点亮。

试三件事：(1) 把两分设成 50%，看平衡线落在 33.3%——这意味着只要三分能投到三分之一以上，它就不输给一个二中一的两分；(2) 把三分设成 35%、两分设成 40%（上一课那组数），看三分 1.05 完胜两分 0.80；(3) 把两分一路拉到 60%（篮下灌篮级别的高效两分），看平衡线升到 40%——这说明当两分是「篮下」这种超高效出手时，三分要打平它就难多了，这也预告了下一课：篮筐底下，才是全场期望分最高的地方。

多拨几下你会摸到这台乘法的脾气：三分那 1.5 倍的分值杠杆，让它永远只需要追到两分命中率的三分之二就能打平。两分越准（比如篮下），这条平衡线越高、三分越难赢；两分越是那种「不远不近的长两分」（命中率掉到 40% 上下），平衡线就压到 26.7% 一带——低到几乎任何一个肯投的三分都比它划算。这正是「投篮选择」的全部要义：在出手之前，你其实已经能用 p × v 算出这一球值不值得投了。

七、把这一课接回主线

我们从上一课那个「每回合期望分之差」出发，这一课把「每回合期望分」拆到了最小的零件——一次出手 = 命中率 × 分值。这台一行的乘法，逼出了三个层层递进的结论：三分只要超过两分命中率的 2/3 就更值（盈亏平衡线）；于是选择哪种出手，比投得多准更早决定效率；而罚球（≈1.5 分）是被低估的最高单价出手，失误（0 分且挨快攻）是唯一的负资产。