第三部分 · 当你「想要」风险：从观点到下注

下注多大：凯利、破产概率与活下去的数学

上一课得到的是一组在假设下为正的期望，不是下注许可。尺寸决定纸面优势能否穿过亏损路径被兑现；在特定的独立、同分布二项模型里，过度下注会令长期对数增长为负。真实交易还有相关性、跳空、流动性和参数漂移，因此这课教的是一把条件化的尺，不是一条普遍破产线。主线仍然是：先活下去，再谈增长。

一、地基：财富是连乘，不是连加

先看一个会让很多人愣住的小例子。你有 100 元。第一天亏了 50%，第二天赚了 50%。你现在有多少钱？

直觉说：一亏一赚，打平，还是 100。错。是 75：

100 ×（1 − 0.50）×（1 + 0.50） = 100 × 0.5 × 1.5 = 75

问题出在：亏损的 50% 是从 100 里扣的，赚回的 50% 却是从剩下的 50 里长的。你的钱是被一个个百分比连乘起来的，不是连加。这条性质有一个残酷的推论——亏损和收益极不对称：

最后一行是整门课的分水岭：0 是一个「吸收态」——一旦到了，就再也出不来，因为任何数乘以 0 都是 0，你再高的胜率、再好的观点都失去了施展的机会。这一课后面所有的结论，都是这一条在反复回声。（第 08 课会把这条「回撤曲线」单独拿出来讲透。）

所以「下多大」不是一个「贪心还是保守」的偏好问题。它是在问：怎样下注，才能既让财富的连乘尽量快地往上走，又永远不碰到那个叫「0」的吸收态？这个问题有一个精确的答案。

二、凯利公式：让长期增长最快的下注比例

因为财富是连乘，我们要最大化的就不是「每一笔的平均收益」（那是连加的思路，会把你引向「全押」的灾难），而是每一笔的平均对数收益——也就是财富的几何增长率。设你每次拿出当前资金的比例 f 去下注，赢的概率 p、赔率 b（押 1 赢 b），输的概率 q = 1 − p（输掉本金）。长期每笔的对数增长率是：

g(f) = p · ln(1 + b·f) + q · ln(1 − f)

让 g(f) 最大的那个 f，就是凯利比例(Kelly fraction)。对它求导令其为零，能解出一个干净得惊人的公式：

f* = (p·b − q) / b ＝ p − q/b

举个这一课会反复用的例子：一个对半赔率的赌局（b = 1，押 1 赢 1），你有 55% 的胜率。代进去：

f* = p − q/b = 0.55 − 0.45/1 = 0.10

凯利说：每次押上当前资金的 10%，长期增长最快。注意这个数有多克制——你有一个真实、稳定、旁人求之不得的 55% 优势，最优的下注却只有 10%，而不是「我这么有把握，当然要重仓」。为什么这么保守？因为它在替你躲开那个叫 0 的吸收态。下面这台机器会让你亲眼看到，越过这个数会发生什么。

三、动手：凯利与破产台

这台机器把上面那个赌局（55% 胜率、对半赔率）跑很多遍。每条细线从同一起点、以同一比例下注，差别只是抽样路径。纵轴是对数刻度；图底表示财富低于起点 5% 的教学阈值，不是余额真的等于零。

在这组固定假设下：(1) 约 10% 最大化长期对数增长；低于它增长较慢但路径通常更温和；(2) 高于它会增加路径风险并降低对数增长；(3) 约 20% 以后长期对数增长为负，财富在无限重复的模型里趋近于零，但有限样本并不会机械地「归零」。换一组赔率、概率、相关性或结果分布，边界会改变。

四、破产概率与那道悬崖

为什么本例约在 f = 2f* 穿过零轴？回到本例的几何增长率 g(f)。它是倒 U 形：在凯利点达到顶峰，再向右下降；对 p=0.55,b=1 的二项模型，零增长根约为 20%。超过后，财富在无限次、参数恒定的数学模型中以概率 1趋近于零；这不是说有限期必然触及零，也不是任意策略都以两倍凯利为边界。

本例：g(f) > 0 当 0 < f ≲ 0.20　│　g(f) < 0 当 f ≳ 0.20

这解释了一个交易台上天天上演的悲剧：一个真有本事、观点也对的交易员，因为下注太重而爆仓出局。他没有看错方向，他输给了 sizing。也正因如此，交易台会给每个人强加风险限额（第 08 课细讲）——限额的本质，就是从制度上禁止任何人把 f 推过那道悬崖，哪怕他自以为「这次我特别有把握」。

五、为什么高手都下得比凯利还小

如果凯利是「最优」，为什么真实世界里几乎没有人真按满凯利下注，反而普遍用半凯利(half-Kelly) 甚至更小？三个非常实际的理由：

• 凯利的最优是「长期几何增长」，代价是巨大的波动。满凯利下，账户中途出现腰斩（−50%）级别的回撤是家常便饭。而半凯利能拿到约 3/4 的增长率，却只有约一半的波动——用四分之一的增长换一半的心惊肉跳，几乎所有人都愿意。
• 你根本不知道真实的 p 和 b。凯利假设你精确知道自己的胜率和赔率；可现实里 p 是估出来的，还会衰减（第 10 课）。而凯利对高估优势极其敏感——你以为的优势只要比真实的大一点，满凯利就变成了过度下注、直接踩上悬崖。往小里下，是对「我可能高估了自己」留的安全垫。
• 你不是只活一个赌局。你有几十个同时进行的头寸、还要面对第 08 课的回撤和第 12 课的情绪——任何一处的意外都可能连锁。留出余量，是为了让整台机器在你没算到的地方也扛得住。

所以真实的下注决策更像：估计整个分布 → 对参数和相关性做压力测试 → 计算模型内凯利 → 再用组合、流动性与回撤约束显著打折。凯利不是法律意义的硬上限；它是在强假设下最大化长期对数财富的基准，实务尺寸通常还受更严格的风险预算约束。

六、收尾：把「下多大」接回整台机器

把这一课接回中心引擎：第 06 课得到的是参数假设下的正期望；这一课说明尺寸会改变几何增长和路径风险。凯利提供一个模型内基准，而不是一条窄窄的唯一活路；真实头寸还必须服从组合、融资、流动性和风险限额。

但请注意，这一整课都假设了一件事：你知道自己有正期望。可市场最擅长的，就是让你在没有优势的时候以为自己有。而且，就算你这一笔的期望真的是正的，它也只是「平均而言」赚——具体到某一笔、某一周、某一个月，你完全可能是错的，而且会连着错。sizing 帮你在错的时候不至于出局；可当亏损真的来临，它到底长什么样、你又该怎么应对？这就把我们推向第四部分那个所有交易员都必须直面的现实——你一定会错。

七、常见误解

• 误解：我这笔胜算大，或者没有超过「两倍凯利」，就可以重仓。 （澄清：两倍边界只近似属于本例；现实的概率、赔率、相关性和跳空都不确定，通常要以组合压力测试和更严格风险限额约束尺寸。）
• 误解：只要每笔毛期望为正，长期就一定赚。 （澄清：尺寸过大可令几何增长为负；成本、参数漂移和相关性还会进一步削弱结果。）
• 误解：凯利公式告诉我「应该」下多少，或者是一条绝对上限。 （澄清：它是在特定效用与分布假设下的增长最优基准；现实通常用分数凯利并叠加更严格的组合风险限额。）
• 误解：下注越保守，长期赚得越少，所以越激进越好。 （澄清：只在凯利点左边成立。越过凯利点，你多冒的风险是纯亏的——增长率反而下降。激进的尽头是负增长。）
• 误解：出局只由运气或只由尺寸决定。 （澄清：尺寸很重要，但真实出局概率还取决于优势是否真实、结果相关性、跳空、融资条款、流动性、期限和出局定义。）