第二部分 · 固定收益：「等待」这道折扣的完整世界

久期与凸性：利率一动，谁受伤最重

对固定债券现金流，市场收益率变化会反向改变现值；久期给出局部一阶敏感度，凸性补上曲率。本课先把这两把尺讲严谨，再把「现金流时点」直觉迁移到股票。迁移只是比较静态：股票现金流、增长与风险溢价会同时变化，不能从成长标签或政策加息直接推出价格。

本课路线

(1) 区分政策利率、即期曲线与债券 YTM；(2) 讲久期的现金流加权时间与局部敏感度；(3) 用凸性做二阶修正；(4) 在其他输入不变时，把现金流时点直觉迁移到股票；(5) 动手玩「久期摆幅台」；(6) 接回完整收益率曲线。

一、钩子：同样一次加息，为什么长债跌得狠

回到上一课的折现。一张债券的价格，是它未来所有现金（每年的息票 + 到期还本）按到期收益率 y 折回today之和：

P ＝ Σₜ 息票/(1+y)ᵗ + 面值/(1+y)ᴺ

现在利率抬升、y 变大，每一笔未来现金的现值都缩水——这就是价格下跌。但关键在于：越靠后的现金，被 y 的变化影响越大（因为它头上的指数 ᵗ 更大）。所以一张现金流集中在遥远未来的债券，对利率的变化就格外敏感。

什么样的债券现金流靠后？期限长的（还本在很远的将来）、票息低的（早年拿回的现金少，大头都压在最后的本金上）。一张 30 年期的零息债券，几乎全部价值都在第 30 年那一笔——它就是对利率最敏感的那种。我们需要一个数，把「现金流平均有多靠后」量出来。这个数，就是久期。

二、久期：现金流的加权平均回收时间

久期（duration）最朴素的定义，是你拿回这张债券每一笔现金的加权平均时间——权重是每笔现金现值占总价值的比例：

久期 D ＝ Σₜ [ t × (第 t 笔现金的现值 / 总价格) ]

直觉上，它回答「平均来说，我要等多久才能拿回这笔投资」。一张 10 年期零息债，所有钱都在第 10 年拿到，久期正好是 10；一张付高息的 10 年债，因为每年都拿回不少利息，加权平均时间被拉短，久期可能只有 7、8 年。期限越长、票息越低 → 久期越长。

妙处在于：这个「加权平均回收时间」，同时正好就是价格对利率的敏感度。可以证明，收益率变动 Δy 时，价格的百分比变化近似是：

ΔP / P ≈ − D_修正 × Δy　（其中 D_修正＝ D /(1+y)）

经典 · 久期是「利率风险」的度量

久期把一个含糊的说法——「这债券对利率敏感」——变成一个可加、可比、可对冲的数字。久期 8 的债券，利率每变动 1%，价格反向变动约 8%。它既是「现金流平均回收时间」，又是「价格对收益率的一阶弹性」——同一个数的两张脸。整个固定收益的风险管理，都建立在这一个数上。—— 债券数学的基石（Macaulay 1938 提出久期概念）

三、凸性：久期是直线，真实是一条凸曲线

但久期只是一个近似——它把价格与收益率的关系当成了一条直线（斜率就是久期）。真实的关系不是直线，而是一条向下凸的曲线（回想上一课的跷跷板，它不是等臂的）。这条曲线弯曲的程度，就叫凸性（convexity），是价格对收益率的二阶敏感度。加上它，近似就更准了：

ΔP / P ≈ − D_修正 × Δy + ½ × 凸性 × Δy²

凸性这一项永远是正的，对债券持有人是好事——它意味着：

利率下跌时，价格实际涨得比久期预测的更多（真实曲线在切线上方）。
利率上涨时，价格实际跌得比久期预测的更少（真实曲线也在切线上方）。
一句话：凸性让你在利率下跌时多赚、上涨时少亏——久期高估了你的损失、低估了你的收益。变动越大，久期这条直线错得越离谱，凸性越重要。

四、跨课边界：远期现金流通常更敏感，标签不决定久期

现在把这把尺从债券移到股票——这正是这门课要还给你的东西。上一课我们说「一切资产都是未来现金流的现值」；那么久期这个概念，对任何资产都成立：它衡量一份资产的现金流平均有多靠后、因而对利率有多敏感。

若一只股票的大部分估值来自遥远现金流，在现金流路径与风险溢价不变的模型里，它对折现率通常更敏感。这与债券久期有相似直觉，但股票现金流不是合约固定的，严格久期也依赖估值模型。「成长」标签不能自动告诉你现金流时点；有些成长公司很快产生现金，有些成熟公司也可能久期很长。↗ 投资的逻辑 · 07 利率如何改变估值

能迁移什么，不能迁移什么

能迁移的是比较静态：其他输入不变时，现金流时间重心越远，现值对折现率通常越敏感。不能迁移的是固定现金流假设、单一收益率或风格标签；真实股票还会同时重估增长、利润、通胀、风险溢价与仓位。

五、动手：久期摆幅台

下面这台机器画出一张债券的价格-收益率曲线（面值 100）。你能动两个旋钮：到期年数和票息率。当前收益率固定在 5% 那一点，机器会画出：

那条凸曲线：真实的价格随收益率怎么变。
那条久期切线：久期给出的直线近似。
再拨利率冲击 Δy，看真实价格（曲线上）和久期预测（切线上）分道扬镳——两者的缝，就是凸性。

看点：把到期年数拉长、或把票息调低，看久期（切线斜率）变陡、同样的 Δy 下价格摆幅变大——这就是「长债、低息债对利率更敏感」。再把 Δy 拨到很大（比如 +3%），看久期切线明显高估了跌幅（真实曲线在切线上方）——这就是凸性的礼物。

久期摆幅台 · 价格-收益率曲线、久期切线与凸性

琥珀曲线＝真实价格随收益率；蓝切线＝久期的直线近似（当前 y=5%）。拨到期年数/票息看久期变陡（敏感度变大）；拨Δy看真实价格与久期预测的缝——那就是凸性（永远帮你：跌时少亏、涨时多赚）。数字为示意/模拟。

到期年数 N：票息率：利率冲击 Δy：

修正久期 D_修正

—

Δy 下·真实价格变化

—

久期线预测

—

凸性帮你多出

—

拉长到期年数看久期变陡；把 Δy 拨大看凸性的缝张开。

玩过之后，「利率风险」不再是一句吓人的话，而是一个能被量出来、比出来、甚至对冲掉的数——久期。而凸性告诉你：这个数本身还会变，且变化的方向对你有利。可我们一直假设只有「一个」利率 y。现实里，借 1 年、借 10 年、借 30 年的利率并不相同——把它们连起来会是一条曲线。那条曲线长什么样、又为什么会「倒挂」？

六、接回主线

这一课在主线上的位置

对给定债券现金流，修正久期近似 −ΔP/P≈D_mod·Δy，凸性提供二阶修正；曲线非平行移动时还要用关键利率久期。股票只能迁移「现金流越靠远期，其他输入不变时越敏感」的直觉，不能把成长标签当严格久期或价格预测。

七、常见误解

误解：久期就是债券的「到期年数」。 （澄清：只有零息债的久期才等于期限。付息债因为提前拿回利息，久期短于期限；久期是现金流的加权平均回收时间，不是到期时间。）
误解：久期能精确算出利率变动后的价格。 （澄清：久期是一阶直线近似，只在小幅变动时准。变动一大，它会高估跌幅、低估涨幅——差的那块要靠凸性（二阶）补，第三节。）
误解：凸性是坏事、是风险。 （澄清：对债券持有人，凸性永远是好事——跌时少亏、涨时多赚。它是价格-收益率曲线「向下凸」的红利。）
误解：所有成长股都是超长久期，政策加息就一定跌得最多。 （澄清：敏感度来自现金流时点与完整折现率；股票的现金流和风险溢价会变，风格标签不能替代模型。）
误解：高票息债券「回报高所以更好」。（澄清：这里比的不是回报是利率敏感度。高票息＝久期短＝利率涨时更抗跌；低票息/零息＝久期长＝对利率下注更重。谁更好取决于你对利率的判断。）

一句话带走

久期是给定现金流对收益率的局部一阶敏感度，凸性补上二阶曲率；曲线移动方式、期权性和现金流变化都会改变结果。迁移到股票时只保留有条件的现金流时点直觉，不把「成长＝超长久期」当恒等式或择时规则。

下一步

这一课我们一直假装只有「一个」利率 y。可现实里，借 1 年、10 年、30 年的利率各不相同——把各期限的利率连成一条线，就是收益率曲线。它通常向上斜（借得越久要越高的补偿），但偶尔会倒挂（短端反而比长端高）——而历史上，倒挂几乎每次都预告了衰退。这意味着：折现不同年份的现金流，本该用曲线上对应的不同 r。 → 第 05 课《收益率曲线：利率的期限结构，与它为什么会倒挂》。